Face Structures of Lattice Path Matroid Polytopes


Date
01/26/2015 - 02/13/2015
Location
CAMP
Research Background and Goal 점(0,0)에서 점(m,r)까지 north step과 east step만으로 이동하는 두 개의 lattice path P와 Q가 `경로 P가 경로 Q보다 더 위로 올라가지 않는다’는 조건을 만족할때, 경로 P와 Q사이에 놓일 수 있는 lattice path들을 기저로 하는 transversal matroid인 lattice path matroid M[P,Q]를 정의할 수 있다. 또한, matroid M[P,Q]에 대응하는 matroid base polytope을 lattice path matroid polytope Q(M[P,Q])라고 한다. 최근 10년간 다면체 Q(M[P,Q])의 구조 분석에 대한 다양한 연구가 이루어 지고 있으며, 본 연구자들은 격자경로 매트로이드 다면체 Q(M[P,Q])의 면 구조를 밝히고자 한다. Main Information k를 P와 Q의 교점 개수라고 할 때 lattice path matroid polytope Q(M[P,Q])의 dimension은 m+r-k+1이고, P가 점(m,0)을 지나는 경우 lattice path matroid polytope Q(M[P,Q])의 변의 개수는 각각의 기저 아래에 놓여진 넓이의 합과 같다(Bidkhori, 2012). 게다가 lattice path matroid가 restriction, contraction, direct sum에 대하여 닫혀 있다(Bonin and de Mier, 2006)는 성질로부터 모든 faces of lattice path matroid polytope도 restriction, contraction, direct sum에 대하여 닫혀 있음을 보이고자 하는 연구가 이어지고 있다. 본 연구자들은 lattice path matroid polytope Q(M[P,Q])의 모든 faces이 lattice path matroid polytope의 restriction, contraction, and direct sum들로 구성될 수 있음을 보이는 것뿐 만이 아니라, 정확하게 어떤 decomposition을 가지는지 조합론 적으로 설명한다. Research Expected Effect dimension이 n인 lattice path matroid polytope Q(M[P,Q])에 대하여 flag f-vector, flag h-vector, ab-index, cd-index를 다음과 같이 찾을 수 있다. • The flag f-vector of Q: (S ⊂ {0, 1, ... , n-1}) f_{Q}(S) := #{\sigma_1 \subsetneq \sigma_2 \subsetneq ... \subsetneq\sigma_k} with {dim(\sigma_i) | i = 1, ... , k} = S. • The flag h-vector of Q: ( S ⊂ {0, 1, . . . , n-1}) h_{Q}(S) := the sum (over T ⊂ S) of (-1)^{|S-T|} * f_{Q}(S). • The ab-index of a polytope Q is the noncommutative polynomial ab(Q) := the sum (over S) of {h_Q(S) * u_0 u_1 ... u_{n-1}} where u_i := a if i \notin S and b if i ∈ S. • 여기서 c=a+b, d=ab+ba로 두고 계산하여 polytope Q의 ab-index ab(Q)에서 cd-index Ψ(Q)를 구한다. 1970년대에 Richard Stanley에 의해 본격적으로 소개된 Flag Vectors for balanced simplicial complexes/order complexes of graded posets는 이후 다음과 같은 중요성을 가지고 발전한다. • For 3-dimensional polytopes and simplicial polytopes, for which the face vectors are characterized, the flag vector depends (linearly) on the face vector. • For general polytopes, the flag vector reflects greater combinatorial complexity than the face vector. • Inequalities on flag vectors project to inequalities on face vectors. • Flag vectors relate to parameters from algebraic geometry. • The cd-index is an efficient way to encode the flag f-vector (equivalently the flag h-vector) of an Eulerian poset. It gives an explicit basis for the generalized Dehn-Sommerville equations, also known as the Bayer-Billera relations. An important example of an Eulerian poset is the face lattice of a convex polytope. 본 연구자들이 lattice path matroid polytope Q(M[P,Q])의 face structures을 lattice path matroid polytope의 restriction, contraction, and direct sum들을 이용하여 조합론 적으로 설명할 수 있게 되면, 대응하는 border strips의 cd-indices들과 Q(M[P,Q])의 cd-index와의 관계를 밝힘으로써 lattice path matroid polytope Q(M[P,Q])의 cd-index를 lattice path matroid polytope of border strips의 cd-indices로 계산하는 간단한 식을 찾을 수 있을 것으로 기대 된다. Research Expected Effect 1. lattice path matroid polytope Q(M[P,Q])의 모든 faces에 대해 lattice path matroid polytope의 restriction, contraction, and direct sum들로 decomposition을 찾고, face structures을 조합론 적으로 이해. 2. lattice path matroid polytope Q(M[P,Q])의 face decomposition에 대응하는 border strips의 cd-indices들과 Q(M[P,Q])의 cd-index와의 관계를 밝힘으로써 lattice path matroid polytope Q(M[P,Q])의 cd-index를 lattice path matroid polytope of border strips의 cd-indices로 계산. 3. 1과 2의 내용을 조금 더 일반화 하여 matroid polytope Q(M)에서 hyperplane splits이 어떻게 수식으로 나타내어지는 지를 찾고, 그 결과를 positroid로 확장.