텐서들의 기하학과 수학 계산 소프트웨어 여름학교


Date
07/11/2016 - 07/14/2016
Location
NIMS
Title : 텐서들의 기하학과 수학 계산 소프트웨어 여름학교 (Summer School on Geometry of Tensors and Mathematical Computing Softwares) Organization Committee ================== Han, Kangjin (DGIST) Choe, Insong (Konkuk University) Park, Euisung (Korea University) Woo, Youngho (NIMS) Invited Speakers ============= Choe, Insong (Konkuk University) “Algebraic geometer's view on polynomial rank” Park, Euisung (Korea University) “Affine and Projective Algebraic Geometry” Han, Kangjin (DGIST) "Introduction to Geometry of Tensors” Woo, Youngho (NIMS) “Waring ranks of polynomials and Numerical Algebraic Geometry” Na, Joohan (KIAS) “Tensors and Orbit classification in qubits” Huh, Sukmoon (SKKU) "Macaulay2" In this school, we aim to make the undergraduate participants to understand basic notions on tensors, algebraic varieties such as Segre and Veronese embeddings and to encourage them to solve various problems concerning tensors from the (algebro-)geometric viewpoint. For this purpose, first we will review fundamental concepts and theorems on matrix and linear algebra. Next, we’ll proceed to their generalizations in ‘multilinear algebra’ and study ‘undergraduate algebraic geometry’. Further, we’re also going to consider ‘geometry of tensors’, where it takes classical well-known varieties (e.g. Segre and Veronese variety) as the parameter space of some specific tensors. Finally, we’ll try to apply these techniques to find tensor rank and decomposition of symmetric and some other tensors.
* 이 여름학교는 주로 오전에는 이론 강의, 오후에는 관련내용을 Macaulay2, Bertini등의 수학 계산 소프트웨어를 이용해 실습 및 과제수행하는 활동으로 이루어 질 예정입니다. * 이 여름학교는 학부생 및 석박사 초년도 학생들을 주요 대상으로 하는 학교이고, 강의 수준은 학부 3-4학년 레벨에 맞춰질 예정입니다. — 여름학교 소개 — d개의 벡터공간(vector space)의 텐서곱과 이 공간의 원소인 텐서(tensor)는 가장 기초적인 수학적인 대상이면서도 물리학 등 여타 자연과학 분야와 신호처리, 복잡도이론 등 위에서 열거한 여러 응용분야의 연구에서 나타나는 매우 유용한 개념이다. 주어진 텐서를 분해가능한(decomposable) 텐서들의 합으로 표현하는 것을 텐서 분해(tensor decomposition)이라고 하고, 이렇게 표현하는데 필요한 최소한의 summand의 개수를 주어진 텐서의 rank라고 한다. 이 주어진 구체적인 텐서에 대한 rank를 계산하는 것이 많은 응용에서 아주 중요한 부분을 이룬다. 이 텐서들의 관한 성질탐구에 최근 대수기하학의 모듈라이적 관점이 도입되어, 텐서연구에 새로운 장이 열리고 있다. 분해가능한 텐서들의 집합은 Segre variety를 이룬다. 텐서 rank에 대한 연구의 기하학적 측면은 각각의 k에 대한 이 Segre 다양체위의 k개의 점들이 이루는 linear subspace들의 합집합으로 정의되는 k번째 시컨트다양체를 연구하는 것이다. d=2인 행렬의 경우 rank가 k이하인 행렬들의 집합은 닫힌(closed) 집합이 되고, rank와 border rank의 개념이 항상 일치한다. 또한 행렬의 행공간의 rank와 열공간의 rank가 항상 일치한다는 ‘아름다운’ 선형대수의 기본정리(fundamental theorem of linear algebra)도 있다. 그러나 d가 3이상인 일반적인 경우 (예를 들어, multidimensional array과 관여되는)를 생각하면 위 사실들은 더 이상 성립하지 않고, 무엇이 기존의 개념을 아우르는 포괄적인 개념이 되어야 하는지 아직 정립되지 않았다. 또 rank가 k이하인 텐서들의 집합이 닫힌 집합이 되지 않으므로, 이 k번째 시컨트다양체에는 rank가 훨신 높은 rank k텐서들의 limit로 표현되는 텐서들이 포함되는데, 이 텐서들을 다루기 위해 border rank라는 개념도 함께 고려해야 한다. 일반적인 행렬(matrix)을 다루는 것과 같은 d=2인 경우에는 나타나지 않았던, 이런 현상들과 border rank라는 개념은 80년대 빠른 행렬곱(fast matrix multiplication)에 대한 알고리즘을 연구했던 수치 선형대수 그룹에서 시작되었는데, 오늘날은 시컨트다양체의 접공간(tangent space)을 연구하는 대수기하적(algebro-geometric) 바탕에서 좀 더 기하적이고, 엄밀하게 연구되기 시작했다. 이 border rank는 대수다양체인 Segre 다양체의 고차 시컨트를 통해 결정된다는 측면에서 자연스런 기하학적 counterpart를 가지고 있고, 실제 응용되는 대부분의 경우에서도 모든 과정이 텐서에 대한 수치적인 근사(approximation)를 통해 구현된다는 점에서 상당히 필수적이고 중요한 개념이라 할 수 있다. 이번 여름학교는 이런 텐서들의 기하학과 구체적인 텐서들의 rank, border rank들을 이해하고, 다룰 수 있는 기초를 오전에 학생들에게 가르치고, 오후에는 오전에 배운 개념들을 Macaulay2, SAGE, Bertini 등의 수학소프트웨어를 가지고 실습하는 방향으로 진행될 예정이다. 수학적으로는 기초적인 선형대수(linear algebra)에 대한 Review에서 시작하여, 다중선형대수(multilinear algebra), 대수기하학의 기본, 그리고 텐서들의 기하학에 대한 적용으로 이루어 질 것이다. 이 여름학교의 목표는 참가한 학생들이 - 여러 응용과 산업에서 등장하는 알고리즘을 텐서로 이해하고 - 그것을 `텐서들의 기하학'이라는 기하적인 관점에서 바라보고 - 실제 Macaulay2, SAGE, Bertini 등의 수학소프트웨어를 이용해 계산할 수 있는 능력 을 배양하는 것이다.