Average problem on symmetric cones


Date
06/23/2015 - 06/29/2015
Location
CAMP
Research Background and Goal 양의 정부호 행렬들로 구성된 대칭원추는 순수 및 응용수학 분야뿐만 아니라 수치적 계산법을 바탕으로하는 의공학 분야에서 핵심적으로 이용되고 있다. 의료영상, 센세네트위크, 레이더 신호처리 등 매우 다양한 분야에서 기존 평면기하의 결과들을 이용하여 수치적 계산을 할 경우 데이터의 비-평면적 특성과 물리적 특성으로 인하여 심각한 오류가 발생한다. 이러한 문제를 해결하기 위하여 기하 및 위상적 성질에 바탕을 둔 알고리듬 개발의 필요성이 크게 부각되고 있다. 본 연구를 통해서 대칭원추 상에서 데이터들의 기하 및 위상적 성질을 보존하는 데이터 평균에 대한 알고리듬을 개발하고자 한다. Main Information 거리 공간에서 최소자승 최적화 문제는 Frechet으로 부터 많은 수학자들에 의해 연구 되어온 중요한 수학적 문제 중 하나로써, Frechet mean, Cartan barycenter 등으로 불리어 진다. 리만 다양체상의 최소자승 최적화 문제의 해는 1970년 Kalcher에 의하여 리만 다양체 상의 비선형 방정식의 유일해와 같음이 밝혀졌다. 본 연구에서는 대칭원추 상에서 리만거리는 유니타리 불변거리 중 하나라는 점에서부터 일반화된 (혹은 리만거리가 아닌 다른) 유니타리 불변거리를 내재하는 대칭원추에서 최소자승최적화 문제를 해결하고자 한다. 또한 일반화된 최소자승 최적화의 문제의 해가 대칭원추상의 어떠한 비선형 방정식의 유일해와 같은지도 조사하고자 한다. Research Expected Effect 연구 배경에서 언급하였듯이 대칭원추 상의 데이터들의 평균화 문제는 순수 및 응용수학 뿐만 아니라 다양한 의공학분야에서 이용되고 있다. 본 연구가 성공적으로 진행된다면 작용소 이론, 볼록 계획법, 최적화 이론 등 순수 및 응용수학의 발전이 될 뿐만 아니라 의료영상, 센세네트위크, 레이더 신호처리 등의 분야에서 기하 및 위상적 성질을 보존하지 않는 평면기하에서의 연구결과들을 이용하여 발생하는 수치적 오류들을 해결할 것으로 기대된다. Research Expected Result 제안된 연구의 결과는 SIAM J. Optimization, SIAM J. Matrix Analysis and its Applications, Forum Math. 등 SCI 학술지에 게재 가능할 것으로 예상된다. 또한 SIAM Applied and Numerical Linear Algebra, Matrix Geometries, Internatianal Radar Symposium 2015 (독일, Dresden), International Linear Algebra Society(벨기에) 등의 중요 학회에 발표를 예상하고 있다.